数学常规培训总结

数学常规培训总结（分享18篇）。

⬢ 数学常规培训总结

现代著名教育心理学家布鲁纳认为：“认知是一个过程，而不是一个结果。”因此，他强调“教一个人某门学科，不是要他把一些结果记下来，而是教他参与把知识建立起来的过程。”我在教学课堂教学中正确处好“教”与“学”，“学”与“导”的关系，把教与学的重点放在“学”上，在教法上着眼于“导”，以学生发展为本，激发学生的求知欲，诱导学生主动探索、主动参与认知结构的过程，促使学生乐学，学会，会学。我在上梯形公式的推导一课时，通过让学生用七巧板来旋转推拼平行四边型形，使他们在活动中，有机会探索，并有所发现。使学生们拼出了个各种不同的平行四边形形，从中得出梯形的面积是同底等高平行四边形面积的一半。激发了他们学习的兴趣。

苏霍姆林斯基曾经说过：“如果教师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传播知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度。而没有情感的脑力劳动就会带来疲倦，没有欢欣鼓舞的心情，学习就会成为学生学习的负担。”因此，我上课的第一工作就是使学生“动”起来，让学生以偷快的心情积极参与到学习中来。如教学“小数乘、除法”时，我就创设了到商场购物的虚拟情境，让学生动起来。我把商场快报上的商品图案和价格一一剪下来，当作商品发到四人小组里，然后让学生每人每次购买两件商品，并算出这两件商品应付的钱数，要求在作业本上列出横式、竖式。比一比，谁列的算式最多，算得又对，谁就是大赢家。学生们兴奋起来，把课堂当超市，兴致勃勃地边选购商品，边写算式，非常认真。

我看到那积极参与的热烈场面，连平时不爱写作业的学生也积极地投入到活动之中。新教学大纲提出：小学数学教学改革的重要目标是改变学生的学习方式，要让学生积极主动地探索，发现解决数学问题的方法，发现数学的规律，教师应该转变角色，成为真正的组织者、引导者。让学生在解决问题中能够主动地调动相关知识，积极思维，通过自主学习，获得独立解决问题的能力。我在数学的课堂教学中正是如此努力地实现着这个目标。

⬢ 数学常规培训总结

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摘要：通过这次数学培训，使我能够取长补短，了解了自身还有很多不足的地方，对数学老师也是一种成长的好方式……

(1)小学数学培训心得体会总结

培训活动的几点心得：

首先，培训活动加深了我对课前备课环节的理解。

平时教学中，小学数学备课都应该备什么，都应该关注哪些方面。但具体在实际操作中该怎样去落实，还是很模糊的。通过这次培训活动后，我真正弄清了有效教学准备活动的流程。教材分析：教材分析不单单是就教材去谈教材。还要在教材分析中明确编者意图，我们可以借此落实哪些阶段目标?我们应该在怎样的总目标的指引下具体落实到课堂上的目标?我们的教学到底要使学生形成怎样的能力?另外，从其他几块的准备中，我还知道了我们的教学还要关注学习者的特征，关注他们的最近发展区，怎样才能使我们的教学真正使他们受益，形成他们的一种能力，这才是我们教学的最终目的。因为现代社会要求公民具备良好的人文素养和科学素养，具备合作的意识和开放的视野，具备包括计算与实际应用在内的多方面的基本能力，以及运用现代技术搜集和处理信息的能力。所以，数学教学应该能够为造就现代社会所需的一代新人发挥重要作用。就是说，我们的教学要使学生形成能力，形成能力的最终目的是为社会服务。只有明确了这一点，我们的教学才会更有效。

其次，为我创造了一个学习的机会。

现代的教育强化了学科的整合，要求教师做教育的研究者。这就要求我们教师必须学会合作，同伴互助，发挥团队的力量，才可以把我们的教育搞好。事实也是如此，在这次培训活动中，<莲~山 课件>每每思考之余，浑身都不由然汲取一种力量，那就是为体现自己的人生价值而奋发努力!这也许就是人为什么是群居动物的原因吧。

再次，通过这次培训，使我能够取长补短，了解了自身还有很多不足的地方，对我自己也是一种成长的好方式。

(2)初中数学培训心得总结

一开始的不情愿，烦恼、急躁，渐渐被专家的精彩讲解所吸引，聆听各位专家的对教材的分析，自己才对这次培训有了初步的认识。使我深感进一步提高自身专业化发展水平的重要性和迫切性。当然，提高自身专业化发展水平并不是一蹴而就的，它必须经历一个不懈的奋斗过程。作为教师，我认为必须具备以下几个“有”：

1.有自主发展的内驱力

俗话说：“师傅领进门，修行在个人”，因此，我们每一位教师都应有意识地增强专业发展的责任感，努力提升自主发展的内驱力，提升自我发展意识，这才是真正实现专业素质提高的基础和前提。

2.有乐于学习的态度

学习是一个永恒的话题，古话说得好：“破万卷书，行万里路，交四方友，成大气候。”学校是一个学习的“共同体”，教师是学生学习的引导者，教师要有“一桶水”，而且是一桶“活水”，朱熹曾有名句“问渠那得清如许，为有源头活水来”，知识的更新也是同样的道理，教师要有乐学的态度，才能使自己具备广博的知识基础和娴熟的教育教学能力，以适应未来社会发展的需求。但是，从目前中小学教师工作的现状来看，当前教师的工作负担过于繁重，备课、上课、批改作业、等等，教师过多的时间和精力都被日常的工作所牵绊，因此有相当数量的教师显得“心有余而力不足”，对这些教师来说，学习是一种美好的愿景，但可望而不可及。长此以往，教师的专业化发展就少了一份有力的保障，本次培训给了我一次很好的学习机会，对我自身的专业提高起到了重大作用。

3.有善于反思的习惯

“反思是教师的一块“自留地”，只有不断耕耘，才能检讨自己的教育理念与行为，不断追问“我的教学有效吗?”“我的教学能更有效吗?”，不断总结自己的工作得失，不断深化自己的认识，不断修正自己的策略，从而获得持续的专业成长，总结——深化——修正——获得，这是教师专业成长的法宝。只有靠教师自己在日常教学实践中不断反思、探索和创造才能获得，尤其要注重对教学经验的科学反思。反思的目的在于增加教师的理性自主，使教师对其实践信念和实践的因果决定因素有更多的自我意识，从而使教师的成长始终保持一种动态、开放、持续发展的状态。

总之，此次培训活动，使自己的教育教学观念、教学行为方法、专业化水平，教育教学理论均有了很大的提升。今后，自己充分将所学、所悟、所感的内容应用到教学实践中去，做新时期的合格的初中数学教师。

⬢ 数学常规培训总结

教学常规是学校工作的基本规范。常规工作的检查，是为了优化教师的教学行为和学生的学习方式，也是扎扎实实做好教育教学和教学研究工作的一个手段。我校于20xx年3月3日按教务处的通知精神进行了全面而细致的期初教学检查，重点检查了教师的计划、教案、各教研组的教研活动计划、作业、作业记载等。现对检查情况总结如下：

一、准备情况

1、截至到20xx年3月3日下午，教师应到人数29人，实到人数28人，报到率平均为99.21%；学生应到人数316人，实到人数316人（不含学生异动情况），报到率平均为100%。

2、教材准备及发放情况良好，教材到位率为100%

二、课堂教学情况

开学第一周课表运行情况良好，所有教师均能严格，按照课表按时上课，没有调课或停课的情况发生。

三、学科计划、教研组计划。

各位教师的计划都是在认真阅读教学大纲、教学用书、教材之后制定出来的，特别是杨柳、周金志、王仁美、邹道玲、何艳、杨云华、张定枢、晏辉荣、陈祥波老师制定了详实、可行性强的学科计划。但也有不足之处：

1、杨柳、杨安美、周金志所撰写的综合学科计划中无周次安排；

2、鲁俊老师的机会均无教学要求和主要措施；

3、英语学科计划整体顺序安排凌乱。另外，各教研组都制定了详细的教研活动计划。

四、备课与作业批改本次备课检查从学课标笔记、单元分析、教学随笔、板书设计超周备课等方面进行了检查。

以上均达到要求，没有提出备课整改意见的教师有：邹道玲、何艳、杨云华、杨柳、周金志、刘传忠、刘五华、杨安美、晏辉荣等老师，这些老师备课要素齐全、字迹工整、内容详实。还有部分教师只有个别修改意见，他们都能及时整改，如，“友情提示单”下发当天熊娟梅、万良春、张定枢、彭开雄等老师就开始修改，有的教师当天就上交复查。需要提出的是这次由于一些特殊原因，造成教师分工后又重新调整，或教起自己从来没教过的学科，备起从来没备过的课，重新学起，但他们都没有怨言，欣然接受，如何庆凤、熊娟梅、李家珍、周金志等，他们这种顾全大局的行为是值得提倡的。在我们逐步规范常规管理、落实课程计划的同时，这次我们要求撰写地方课程计划、备地方课，老师们也能做到理解特别是几位老教师杨安美、王仁美、刘传忠积极配合按时完成备课任务。但也有教师没有在3月3日按时上交，这也为检查工作带来了不便，希望今后大家能按时在规定的时间内上交检查项目。好在，教师们都在接到“友情提示单”之后进行了整改。作业批改及作业记载方面，老师们都做得不错。

总之，教学常规工作是学校工作的重要之笔，也是老师们业务水平提高的，需要每一位老师付出努力；教学常规工作也是一项长期的工作，需要每一位老师常抓不懈。

教学常规是培养教师的基本功，决定教师的教学能力的重要途径。教师教学水平的高低体现于教学各个步骤的细节中，空洞地谈教学能力是苍白的，只有用教师的备课情况、讲课细节、作业批改课外辅导的敬业程度才能说明他的优秀之处；同时，教师的水平也只有在这些常规细节中才能培养起来。

教学常规决定学生的学习状况。学生学习的努力程度、学习能力的养成都是靠教师良好的教学常规来造就的。

最后，我给大家再提一点小建议，建议老师们都对自己一学期的教学常规工作进行自我反思。因为：教学常规是做细节，细节需要不断改进。教学常规的反思是改进教学常规的有效手段。只有不断反思，才会为今后的教学提供借鉴，优化自己的教学过程。

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教学时，注重学生自学能力的培养，尤其是口算，由于本班学生大部分同学基础较差，口算速度很慢，对此，我坚持利用每节课前3分钟时间对学生进行口算训练，经过一学期的努力，学生的口算能力又明显的提高，但仍不够理想，在期末复习考试中，全班有80％的同学能达到要求，在四则计算方面，通过课堂的算理讲解以及平时的加强练习，全班学生的计算能力有很大的提高，期末考试全班同学平均错误率在13％左右。

在应用题方面，针对本班学生的实际情况，学生对应用题的掌握限于比较简单的，只有极少数同学应用题基本功较扎实，而本学期应用题占的比率也较大，面对这样的学生，教学应用题有一定的困难，为此，教学时为了顾全大局，应用题从较简单的复习起，同时也为学习分数应用题做了铺垫，同时，在教学中，注重指导学生画线段图帮助分析理解题意，并充分利用迁移原理：把整数、小数四则应用题的解法应用道分数应用题上来，并加强方程解法的教学，使学生杂货能够外数量间的相对应关系，并与算术解法紧密联系起来，灵活选择解题方法，以促进思维发展，在分数教学中，尤其注重一题多解，在讲解练习题时，鼓励学生用不同的方法解答，激发学生的学习兴趣和积极性，课堂气氛非常活跃，收到很好的效果，通过这一学期的努力，学生解答应用题的能力有了较大的提高

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（一）教学目标

1、关注“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），扎实有效地开展课堂教学。注重联系学生生活实际，引导运用数学的思维方式进行思考，关注问题解决能力的培养，了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯。

（二）教学内容

2．根据数学学科特点和学生实际，整体把握教材，合理选择和调整教学内容，充分利用当地资源，因地制宜地开展教学活动。

（三）教学过程

3、精神饱满地投入到教学活动中去，教态亲切、自然，语言清晰、生动、准确。板书工整、布局合理、重点突出。

4、教学要突出学生的主体地位，保证学生有充分的动手、动口、动脑的机会和时间。面向全体学生，学习活动的组织兼顾不同层次的学生。关注学生间的互帮互学，建立良好的学习共同体。

5、有效组织好学生的学习活动。要突出重点，突破难点。动手实践、小组讨论等环节的安排要有明确的数学教学目的，注重实效。提问要简洁明了，有思考价值，鼓励学生质疑问难，发表自己的见解。

6、注重学生数学习惯的培养。从“听、说、想、练”等方面入手，培养学会倾听，会用数学语言完整表达数学思维，善于从多角度独立思考，规范书写等良好习惯。

7、课堂教学时间分配合理，结构科学。要留有学生独立思考和基本练习的时间。认真组织好课堂的练习与反馈，及时调节，练习要有梯度、层次，适应绝大部分学生，对学困生有针对性的措施和方法。

8．处理好教学中预设与生成的关系。充分发挥师生双边在教学中的主动性和创造性，根据学情及时调整教学方法、教学节奏和教学设计。提倡教后反思，及时总结提高。

作业常规：

一、作业布置

1、作业布置要坚持课内与课外相结合，量与质相结合，注意多样性和层次性，以满足不同层次学生的需要，倡导分层布置作业。从作业本、课本练习精选或自行设计作业习题，要体现“适量，灵活，针对性强”的原则，除书面作业外，还可以设计一些让学生动口、动手、动脑的实践性作业。

2、注重减负提质，严格控制作业时间。1－2年级数学作业一般要求课内完成，3－4年级课外作业时间以20分钟内为宜，5－6年级课外作业以30分钟内为宜，午间不布置书面作业。

3、作业要统一格式，统一用笔，字迹工整，行款整齐，无乱涂乱画，教育学生爱护作业本，基本无卷角。一、二年级统一用铅笔，三年级开始用钢笔或圆珠笔。

二、作业批改

1、作业批改要认真、及时、准确、细致，做到有发必收，有收必改。

2、作业质量宜采用等级评价，激励为主，根据学生情况适当有针对性地写上激励性评语。

3、提倡教师收集整理学生作业中的错题，建立学生错题册，学生作业中典型性、普遍性问题要注意分析，做好记录，指导学生学会自我反思与提高。

三、作业辅导与讲评

1、辅导要耐心，讲评要及时。针对学生水平，因材施教，辅导、讲评形式多样，尤其注重对后20%学生的个别辅导。

2、辅导要贯彻在整个教学过程中，包括课前、课中、课后。指导学生按时、认真、独立完成作业，培养学生良好习惯。

教学评价：

1、质量测评的试题编制应以课程标准为依据，注重对数学基本知识、基本技能、基本思想方法、基本生活经验的考查。关注对学生学习六大核心问题的考查，注重学生独立思考、创新思维和实践能力的培养。命题要科学，难易适度，题量适当，注重层次性、开放性。要紧扣具体、可测的教学目标进行命题，防止随意性。

2、数学测评的内容应全面。包括知识与能力、过程与方法，情感态度与价值观等；评价既要关注学生学习的结果，更要关注学生的学习过程；要从学生的实际和教学的实际出发，注意难度适中、内容科学，帮助学生正确认识自我，建立信心。

3、测评形式应灵活多样。根据不同需要，灵活采用闭卷或开卷、统一或分层、规定或自选、口试或笔试等测评方式。创新方式，重视对学生口算、估算、动手操作、实践应用及情感、态度等方面综合考查。

4、认真细致做好命题、监考、阅卷等工作。及时对检测的情况进行系统的分析、反思与反馈。使学生了解学习过程中存在的不足，使教师反思教学过程中存在的.问题，并提出相应的措施，进一步提高教与学的质量。不允许根据测试成绩对学生进行排名。

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小学数学教学是培养学生数学素养的基础，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要途径。因此，作为小学数学教师，常规培训是提高教学质量和效果的必修课程。

在我参加的小学数学教学常规培训中，我受益匪浅。从培训中，我深刻认识到教学工作的重要性，同时也明确了教学过程中的一些常见问题和解决办法。下面是我对这些培训内容的总结和体会。

首先，在培训中，我们提到了小学数学教学的目标和意义。作为小学数学教师，教学的目标不仅仅是传授一些数学知识，更重要的是培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。因此，我们在教学中要关注学生的思维过程，而不仅仅是关注答案的正确与否。我们需要引导学生思考，激发他们的兴趣和求知欲望，培养他们独立思考和解决问题的能力。

其次，培训中我们还介绍了一些常见的教学方法和技巧。例如，开展启发性教学可以激发学生的学习兴趣，让他们在思考和探索中学习。同时，我们还学习了如何设计课堂教学活动，如何灵活运用教具和教材，如何进行小组合作学习等等。这些方法和技巧的运用将使数学教学更加生动有趣，提高学生的学习效果。

另外，培训中还着重强调了做好教学评价的重要性。在教学中，我们要及时对学生的学习情况进行评价和反馈，从而科学地调整教学方法和策略。因此，我们需要掌握一些评价和检测的方法，例如课堂观察、作业评定、测验考试等等。这些评价方法能够帮助我们了解学生的学习情况，及时发现问题并采取相应的教学措施，确保教学的针对性和有效性。

最后，培训中还强调了教师的自我提升和学习能力的培养。作为小学数学教师，我们需要不断更新自己的知识和教学理念，提升自己的专业素养。我们要积极参加各种培训和研讨会，与同行交流经验，互相学习和借鉴。同时，我们还要不断反思和总结教学过程，及时调整和改进自己的教学方法，使教学更加科学有效。

通过这次小学数学教学常规培训，我对小学数学教学有了更深入的认识，并掌握了一些实用的教学方法和技巧。我将会充分应用这些知识和经验到实际教学中，不断提高自己的教学水平和教学效果。相信通过不断学习和努力，我能够成为一名优秀的小学数学教师，为学生的数学学习贡献自己的力量。同时，我也希望与同行们一起努力，共同提升小学数学教育的质量，培养出更多优秀的数学学子。

⬢ 数学常规培训总结

数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。

第一次扩充：分数的引进；第二次扩充：0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。

从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：原数集是扩充后新数集的真子集；原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充。另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。

有理数有一种简单的几何解释在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为0和1。正整数在0的右边，负整数在0的左边。对于分母q的有理数，就可以用把单位区间q等分的那些分点表示。每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。

无理数的引入正方形的边长和对角线不可公度。实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要，实现了实数系关于加减运算的封闭性。戴德金阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。

所建立的数系是同构的。

自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论

基数理论当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。19世纪中叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。等价集合的共同特征称为基数。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。自然数就有有限集合A的基数叫做自然数。记作“”。当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。空集的基数就是0。而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为N。

序数理论皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。是根据一个集合里某些元素之间有“后继”这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按1、2、……这样一种基本关系而完全确定下来。

定义非空集合N中的元素叫做自然数,如果N的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′)，并满足下列公理：

（1）0∈N；

（2）0不是N中任何元素的后继元素；

（3）对N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

（4）对N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后继于N中某一元素b；

（5）（归纳公理）如果MN，而且满足条件:①0∈M；②若a∈M，则a′∈M.那么，M=N这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。

自然数0是作为空集的标记。在空集中，“0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。

自然数系所蕴含的思想

对应思想（可数的集合）自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。（导致了俗称“理发师悖论”的罗素悖论的发现）德国策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国弗芝克尔改进形成了一个无矛盾的集合论公理系统（ZF公理系统）。数位思想

位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值。十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

负数的数学含义至少包括如下几个方面：+a与-a表示一对相反意义的量。引入负

数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。

字母代表数代数，原意就是指“文字代表数”的学问。使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解。根本的内涵是“未知数的符号x可以和数一样进行四则运算。文字代表数的真正价值在于：字母能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、积分运算等等。

解析式数字、字母、运算符号按照一定规律有意义地结合而成的符号组合。解析式中的字母可以有不同的含义不同的含义不影响它基本运算规律和变形规则。解析式可以区分为两大类：一类是只含有代数运算的解析式叫代数式，没有开方运算的代数式称为有理式，否则称为无理式；没有除法运算的有理式称为整式，否则称为分式；没有加、减运算的整式称为单项式，否则称为多项式。另一类是包含初等超越运算的解析式统称为初等超越式，简称超越式。它包括指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式。

解析式的恒等变形把一个给定的解析式变换为另一个与它恒等的解析式，叫做解析式的恒等变形。恒等是相对的。式的恒等变形也是可以连写的，因为它们对一切数，代入式都相等。但是，解方程时的同解变形，不是恒等变形，。代数式数学的符号语言

代数式是在数系基础上发展起来的。在初等代数中，所涉及的运算可分为两大类：1代数运算2初等超越运算：指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算。

定义，在一个解析式中，如果对字母只进行有限次代数运算，那么这个解析式就称为代数式；如果对字母进行了有限次的初等超越运算，那么这个解析式就称为初等超越式，简称超越式。还可以进一步分类：只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式；其余的代数式称为无理式；在有理式中，只含有加、减、乘运算称为整式（或多项式），其余的有理式称为分式。

“数”发展到“式”的意义导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，成为近代数学的显著特征。

数学符号具有重要的属性一是它的抽象性。符号代表了事物本质的特征，从而具有代表性和一般性。另一个重要的属性在于它的形象性。数学符号不但精确地表示数学抽象，而且是抽象内涵的简约形象。等式和方程

（一）方程的含义“含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。

判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数。方程的概念一般用于两个领域：“求某个未知数的数”和“曲线与方程”在这两个领域中“方程”的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。

方程的分类依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。方程按照它所含有的未知数的个数来分类：集。两个不等式的解集相同，则称这两个不等式是同解的。

不等式有三个基本性质：1不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，2不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变3不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。不等式的实际应用在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么.方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态。不等式尤其在解决“最值”问题上具有广泛的应用。不等式蕴含的思想

（一）模型思想与相等现象相比，不等现象是现实世界中更为普遍的现象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。

方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。关于方程建模大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。必须学会抽象将关系抽象为数学符号。

方程设计思想的思路先进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题。

初中数学方程的常见解法：换元法、因式分解法、图像法、求根公式法。

等式与方程的关系建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。不等式

学习的意义不等式可以表示一种界限，本身就是一种规律。其次，研究不等式可以导致等式。最后，不等式在几何上可以表示一个区域。

不等关系与相等关系既是矛盾独立的，也是相互统一的。不等关系往往可以等价地转化为相等关系加以解决。

不等式的含义两个实数或代数式用符号连接起来的所得到的式子叫做不等式。如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式，如果只用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式。如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式。当不等号两边的解析式都是代数式时，称为代数不等式；两边的解析式至少有一个是超越式时，称为超越不等式。不等式解集表示方法

不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的过程叫解不等式。不等式组中每一个不等式解集的交集叫做不等式组的解集。

一个不等式的解集表示方法1数轴表示法即在数轴上把不等式的解集表示出来。2集合表示法即用集合来表示不等式的解集。3区间表示法即用区间来表示不等式的解

刻画不等现象的有力模型。通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。（二）辩证思想通过c=a-b的媒介作用，不等式a>b与等式a=b+c建立了一种“等价”关系。这是一种辩证关系。恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题。（三）数形结合思想根据题意可列出不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，可以直观形象地解决问题。这种思想正是数形结合思想。函数

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

1755年，欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数。”由此演变为目前的函数的“变量说”黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的每一个值与之对应，则称W是Z的函数。”。1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：

1）对

中每一个元素

，存在

，使

；

（2）若且，则。函数记作：”分别称以上函数定义为变量说、对应说和关系说。函数概念的核心思想

数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法。

解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的。列表法适用于表达变量取值是离散的情况。利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法表达函数可因题而议。中学数学研究的函数性质

数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。中学阶段主要研究函数的周期性，也涉及

奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。（一）函数的周期性周期性反映了函数变化周而复始的规律。是中学阶段学习函数的一个基本的性质。周期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况。

（二）函数的奇偶性函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。奇偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。

（三）函数的单调性单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质。从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。函数与其它内容的联系

（一）函数与方程用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐．解析几何的产生与发展

笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示，并且形成了一系列全新的理论与方法，解析几何就这样产生了。现代几何的产生与发展

人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处，在尝试用其他公理、公设证明第五公设“的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。初中数学课程中的几何学内容

（一）直观几何几何学是其中研究“形”的分支。几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段，主要依靠形象思维。“形象思维”也就是强调几何直观。

（二）演绎几何几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，因此，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，标，即零点的横坐标。方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与x轴的交点问题。

（二）函数与数列数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。数列通常称为离散函数。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。

（三）函数与不等式我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。

（四）函数与线性规划是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，接着，需要确定目标函数的可行域。最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题。

解线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值。函数模型

函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义。现实生活中，普遍存在着最优化问题----最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决。在运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案。

在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性。

通过实例，让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会用数学的知识、思想方法、数学模型解决实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践．第二章图形与几何四个基本阶段。

实验几何的形成和发展

人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。理论几何的形成和发展

柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，欧几里德按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》奠定了理论几何的基础。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。

以一些原始概念和公理为出发点，逐步对一些几何概念做比较逻辑化的描述，进行一些基本推理和论证。虽然也借助直观和少量代数公理，但是，主要立足逻辑进行几何概念及其性质的分析研究，这就是演绎几何。

（三）度量几何对一些图形进行度量，包括长度，面积，体积，角度等，适当的延伸。（四）变换几何也叫运动几何。这个领域主要讨论平移、旋转、反射等刚体运动，以及相似变换、拓扑变换，并借以研究图形的全等、对称等概念，了解变换之下的不变量。（五）坐标几何即解析几何。在解析几何中，首先是建立坐标系。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。

经验几何所谓经验几何，通常是直观几何、实验几何的通称，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。经验几何的作用

几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科,而后发展成为研究一般空间结构、图形关系的学科。

（一）经验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用，而论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用。（二）经验几何是学习推理论证几何的必要前提。

学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。

另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。

（三）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法。总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用；同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、几何直观几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。

几何直观及其作用《数学课程标准》（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述

和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观对于学生的数学发展非常重要：

首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。

其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础,有助于学生对数学的理解。

借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考一般地，周长指封闭曲线一周的长度。（二）面积

物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小，对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”标志它的大小，称这个数为该图形的面积。人们约定，将边长为1米的正方形的面积规定为1平方米。

于是，对于边长为整数a米、b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为1米的正方形，进而，这个矩形就由ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为ab平方米（整数）。如果矩形的边长A，B是无理数，而且仍用边长为1的正方形去度量，那么，还要使用极限过程，用一列有理数逼近无理数，an→A,bn→B。依据anbn→AB，以及有理数边长的矩形面积公式，最后得出，矩形的面积也是AB。

这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。

最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。

直观几何主要包含哪些内容

以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。这些内容构成直观几何的重要组成部分。经验几何的具体研究内容

初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观、积累几何活动经验、培养空间观念，则是经验几何的核心目标。按照初中阶段的经验几何认识过程的不同，通常可以将经验几何的学习内容，分成认识图形、进行立体图形与平面图形的转换、在运动与变换中研究几何图形的有关性质三部分。度量几何几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。

长度的含义线段“两端之间的距离”。所谓距离。罗兰德（Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长数。1960年以后，用激光定义“米”。

目前，国际上采用的长度单位，是在1983年10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（SI）中的长度单位──“米（meter）”定义为：光于299,792,458分之1秒内在真空中所走的长度，称为“米”。

如果可以用一个线段e衡量两条线段M，N，使得M，N都是e的整数倍，我们称两个线段M，N是可公度的。

辗转相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即较长的那个线段减去短的那个线段，如此辗转截取，直到两个线段一样长，这个长度就是公度量。古希腊的毕达哥拉斯学派，发现正方形的边与其对角线不可公度3.周长“圆、椭圆或其它闭合的曲线的周界长度。”

比”。

海伦-秦九韶公式

刘徽用割圆法求圆面积大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差越来越小，其极限值就是所要求的圆面积。印度圆取两个相等的圆，把它们等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形然后，把两个锯齿形互相嵌入即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径r，底为圆周长c，面积为rc，从而得圆面积为.体积是指物质或物体所占空间的大小。

（1）直接度量法。把一种叫做“单位正方体”的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被a个正方体填满，那么这个几何体的体积就等于几个单位体积。（2）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度，再利用有关公式计算出这个几何体的体积。“面积公理”与测度公理

既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。这个集合函数显然是非负函数，而且正方形的面积是1。当然，两个不重叠的图形之并的面积，必须等于两个图形的面积之和。最后，如果图形经过移动、旋转、反射，其面积应该不变。这些性质放在一起，就成为面积公理的内容。对于周长一定的矩形来说，边长相等时矩形面积最大，即正方形的面积最大。（2）对于面积一定的矩形来说，边长相等时矩形周长最小，即正方形的周长最小。事实上，这个结论可以推广为：在周长相等的情况下，越接近圆的图形面积就越大，如，第四节变换几何

变换就是一个集合到另一个集合的映射。几何变换、变换群的概念

几何变换，就是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。

变换群。实际上是满足一定条件的若干变换组成的集合：如果某种几何变换的全体组成一个群，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容。

在初等几何中，变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。

全等变换

如果从平面(空间)到其自身的映射，对于任意两点A、B和它们的像A/，B/总有A/B/=AB。则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换）,它把一个图形变成与它反常全等的图形,即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向。相似变换，第一种叫做真正相似变换（正相似变换），第二种叫做镜像相似变换（负相似变换）。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似(正相似)的图形,即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向,每对对应角有同一方向。反演变换

在平面内设有一半径为R，中心为O的圆，对于任一个异于O点的点P，将其变从认知规律看，几何学习的基本途径,主要是四步：直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算。

欧几里得与演绎几何

公理化方法渊源于几何学，而几何学起源于埃及。

希腊数学家欧几里得编成了《几何原本》一书。这本书内容丰富，结构严谨，对于几何学的发展和几何学的教学都起了巨大的作用，它被人们赞誉为历史上的科学杰作。欧几里得《原本》，原说有15卷，经后人多方面考证，公认只有13卷。欧几里得《原本》对于几何直观、演绎推理进行处理的利弊得失

《原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。在训练人的逻辑推理思维方面，换成该射线OP上一点P/，且使OP/OP=R，这个变换叫做平面反演变换。圆O叫做反演基圆，圆心O叫做反演中心或反演极，R叫做反演半径或反演幂，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点,位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之，也成立。演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。合同变换：平移，旋转，反射平移、旋转与反射的初步描述

图形相似的思想方法体现在图形相似的概念、性质和处理问题的手段之中。我们可以将其归结为如下五个方面：

（1）图形相似问题的核心往往在于三角形相似与成比例线段，体现出化归思想

（2）图形相似是反映大自然奥秘的一个窗口，图形相似在自然、社会和人类生活中具有广泛的普适性。

（3）结构相同，即“同构”，是图形相似的重要特征之一。相似可以帮助我们从局部来研究整体。

（4）图形相似提供了认识三角形的另一个途径，三角形相似的判别方法可以强化我们对三角形构成元素的认识。

（5）借助必要的工具和手段是学好图形相似的必要前提。平面图形初等变换之间的关系

（一）平移、旋转、反射变换是全等变换

（二）平移、旋转都可以由若干次反射（轴对称）的复合而得到。

对于平移、旋转和轴对称（反射）来说，虽然三者都是全等变换，但是，容易发现，其中，轴对称（变换）更为基本。

（1）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的`结果等同于一次平移；

（2）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来替代完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。

（3）任意一个合同变换至多可表示为三个反射的乘积。第五节演绎几何《原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范。

欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德罗素、阿尔弗雷德怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是，从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。

如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧几里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。爱因斯坦更是认为，“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”由此可见，《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。

从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。值得一提的是，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。《原本》几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中，最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼，甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但是，改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比三种几何的关系

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此，这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。

义务教育阶段几何课程内容的基本定位义务教育阶段几何课程设计的特点简析义务教育阶段几何课程设计的特点与以往的综合几何课程设计风格相比，《数学课程标准》下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。

尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如，内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。①这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。另一条途径是，用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。

从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。

对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现。

非欧几何，即非欧几里得几何，是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。罗巴切夫斯基几何

家罗巴切夫斯基发现非欧几何--罗氏几何为止，肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。黎曼几何

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。

新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验学习的方法；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。

直观几何、实验几何课程设计特点与综合几何的差异

与综合几何相比，直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色：

1．不同的课程目标和价值取向

从课程设计的角度看，直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式，而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式。

2．不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系

以论证为主的综合几何课程设计，立足于行为主义心理学，主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系。相比之下，直观几何、实验几何课程设计观认为，有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上，依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作，教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者、引导者和合作者、参与者，注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异，师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新关系。

3．不同的课程设计风格

在课程论中，课程有学科型课程与经验型课程之分。除了学科型课程和经验型课程外，大多数课程介于两者之间。直观几何、实验几何属于典型的经验型课程，而综合几何属于典型的学科型课程。当前，我国实行的义务教育课程标准实验教科书大多介于学科型课程与经验型课程之间，只不过，有的更靠近后者，即比较“前卫”，而有的更靠近前者，“中规中矩”。

4．不同的教学要求

在直观几何、实验几何课程实施过程中，学生的直观感受和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体，而且直观教学变得十分重要。在这种课程设计时，有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开。几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学，培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节。因而，在直观几何、实验几何课程设计模式下，采用直观教学至关重要，可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情尽管全国初中数学课程标准实验教科书彼此之间都有差异，但是，发展几何直观与推理

能力是普遍趋势。第三章统计与概率

准确理解数学、概率、统计之间的关系

（一）研究问题的出发点不同数学研究的对象是从现实生活中抽象出来的数和图形。数学研究问题必须有定义，即数学研究问题的出发点是定义，没有定义无法进行数学的研究。统计研究所依赖的是模型，构建一些模型的基础上进行研究。但是，统计与数学有着密切的联系，我们拿来数学的很多知识、思想方法作为统计分析的工具。

（二）研究问题的立论基础不同从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号的基础上的。而统计学是建立在数据和模型的基础上，虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的，但是统计学在本质上是通过数据和模型进行推断的。

境之中，耳濡目染，受到感染，教师若采用图片直观，便可展现情景，给学生以鲜明生动的形象，学生的注意力很快被吸引到图片所展示的情境中。如何理解初中几何及推理

新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”+“推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。

初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。

在义务教育数学课程标准下，“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。

在“图形与几何”的核心课程教学在于：帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。

如何理解初中几何的核心目标发展几何直观与推理能力

在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实出发，按照规定的法则证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。基于此，《数学课程标准》把认识或把握空间与图形作为主旋律，以图形的认识、图形与变换、图形与位置（坐标）、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容。

（三）研究问题的方法不同与概念和符号相对应，数学的推理依赖的是公理和假设，是一个从一般到特殊的方法，而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法，是一个从特殊到一般的方法。

（四）研究问题的判断原则不同数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错，从这个意义上说，数学是一门科学，而统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果，统计学对结果的判断标准是好与坏，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术。

数理统计方法的基本步骤建立数学模型，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。

（1）模型的选择和建立。模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本。

（2）数据的收集。其方法主要包括全面观测、抽样观测和安排特定的实验3种方式。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科。叫抽样调查。

（3）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。

（4）数据整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来。一种形式是制定适当的图表，如散点图，以反映隐含在数据中的粗略的规律性或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，如样本均值、样本方差等简单描述性统计量。

（5）统计推断。指根据总体模型以及由总体中抽出的样本，做出有关总体分布的某种论断。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计学的主要任务。

（6）统计预测。统计预测的对象，是随机变量在未来某个时刻所取的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。

（7）统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果而制定的一种行动方案。初中统计与概率的课程内容主要内容包括：

描述统计的进一步扩展----描述统计的基本目标在于以最简单而直观的形式最大限度地容纳有用的数据。

渗透数理统计思想----数理统计与描述统计的根本区别在于总体与样本概念的引入，它的基本思想是通过对样本的分析来推断总体的特性。这部分的一个核心的内容是抽样，如何抽样、抽样的过程、样本的多少是收集数据的一个关键问题。学习概率的初步内容-----包括运用列表、画树状图、制作面积模型、简单计算等方法得到一些事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过大量丰富的实例，进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际的问题。

普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.总体：所考察对象的全体称为总体。个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查。样本：从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数量叫样本容量。随机事件和样本空间

在一定条件实现后，可能产生也可能不产生的现象，人们称之为随机现象。具备以下三个特点的试验称为随机试验：

信息。众数只与其在数据中重复的次数有关，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的数据信息，而且当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。数据的离散程度

极差是指一组数据中的最大值减去最小值所得的差。它可以反映一组数据的变化范围。方差是指一组数据中的平均数与每一个数据之差的平方和的平均数。

样本数据的方差和标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。加权平均数的概念

加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，即一组数据的每个数乘以它的权重后所得积的总和。平均数称之为算术平均数，是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，

(1)可在相同条件下重复进行；

〔2)每次试验可出现不同的结果，最终出现哪种结果，试验之前不能确定；

(3)事先知道试验可能出现的全部结果。随机事件随机试验的每一个可能的结果称为一个随机事件

样本空间由样本空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件。数据的收集

数据收集方法有两种：调查和实验。在现实生活中原来就有的数据，人们通过调查获得，例如，普查，即为一特定目的而对所有考察对象的全面调查；抽样调查，即为一特定目的而对部分考察对象作调查。三种常用抽样方法是：随机抽样法、分层抽样法和系统抽样法。

数据的随机性主要有两层涵义：

一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；

另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据的整理和分析

数据分析观念主要体现在三个方面：

第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；

第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；

第三，通过数据分析体验随机性。

理解两种估计方法，一种是用样本的频率分布来估计总体的分布，另一种是用样本的集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）来估计总体的集中程度和离散程度。频数和频率

我们称每个对象出现的次数为频数，也称次数。频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。数据的集中趋势在统计学中是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。反映数据集中趋势的度量包括平均数、中位数、众数等。平均数一组数据的平均数就是用这组数据的总和除以这组数据的总个数得到的值。中位数，就是将这组数据从小到达排列后，位于正中间的数（或中间两个数的平均数）。众数，是指一组数据的众数就是这组数据中出现频数最多的数。平均数、中位数和众数的联系与区别

联系：从不同角度描述了一组数据的集中趋势。区别：计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分利用数据所提供的信息，但容易受极端值的影响。它应用最为广泛。中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关。但不能充分利用所有的数据当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。

统计表不仅反映某一类事物的具体数据，而且还能说明有关数据之间的关系。统计图是借助于几何线、形(线段、长方形、三角形、圆形等)以及事物的形象等形式，显示收集到的数据信息，直观地反映其规模、水平、构成、相互关系、发展变化趋势和分布状况，即是根据统计数据所绘制的图形。条形图是以简单的几何图形，即等宽条形的长短或高低来比较数据所隐含信息的统计图示法分为单式条形图、复式条形图、分段条形图、对称条形图、距限条形图、累积条形图等。

直方图有两种，频数直方图和频率直方图。频数直方图与频率直方图既有联系，又有区别。

扇形图用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图。扇形图能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例。

扇形统计图具有四个特点：

一是利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，

二是圆代表总体，各个扇形分别表示总体中不同的部分；

三是扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，

四是各个扇形所占的百分比之和为1；最后，在不同的统计图中，不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小。折线统计图

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，折线统计图不但可以表示出数量的多少，还能够清楚地表示出数量的增减变化情况，并且可以进行简单的预测。折线统计图可分为单式折线图或复式折线图。统计是对随机现象统计规律归纳的研究，而概率是对随机现象统计规律演绎的研究，在解决实际问题时，二者是相辅相成、互相关联的

随机事件的概率，实质上是指在客观世界中，这个事件发生可能性大小的一个数量刻画。

概率的定义

频率是指事件发生的次数在全部试验次数中占的比例，所以频率能够反映该事件发生的可能性大小。即一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是趋近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).概率的公理化定义样本点全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正确理解随机性与概率

（1）随机性和规律性。

（2）概率和机会。从某种意义说来，概率描述了某件事

情发生的机会

（3）有些概率是无法精确推断的。

（4）有些概率是可以估计的。随机结果也具有规律，而且有可能通过试验等方法来推测其规律。我们就是要通过观测数据，在随机性中寻找用概率和数学模型描述的规律性

小概率原理是统计检验（统计中的反证法）的基础和依据。小概率原理是指在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。《数学课程标准》认为，“统计与概率”应当是初中课程内容的重要组成部分。不仅如此，《数学课程标准》将“统计与概率”内容从第一学段连续编排到初中，并且规定，在初中，学生将从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。《大纲》没有涉及“概率”内容，仅仅在初中阶段引入“统计初步”，并且将“统计初步”放入“代数的第（十三）部分”在《大纲》中，“统计初步”的定位是：使学生了解统计的展这一活动，有以下几个步骤：

第一，学生观察一件物体或一种现象，或者操作某些学具。

第二，学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行思考，与同伴进行讨论和交流，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足。

第三，老师按一定的顺序给学生们推荐活动，学生可从中作出选择并实施这些活动，学生在选择中有较强的自主性。

第四，这一活动可以以课内外相结合的形式进行，学生每周至少花两个小时进行同一个主题的活动，并应保证这些活动在整个学习进程中的持续性和稳定性。

第五，每个学生都记录活动过程。通过这一活动，学生逐渐学会操作，同时加强和巩固口头和书面表达能力，发展解决问题的能力，增进对数学的理解力。如何理解数学研究性学习

思想，掌握一些常用的数据处理方法，能够用统计的初步知识解决一些简单的实际问题。简单的平均数和加权平均数

所谓加权平均数，是指各个数据的“份量”不同，有的重要些，有的轻些，将它们的重要性用“权重”表示，即加上各个数据在全体数据中占有的比例（频率）再作和。数学期望的定义事前预期的好处，就叫做这件事情的期望值。第四章实践与综合

设置“实践与综合”领域目的在于体现其桥梁作用（即，数学不同领域之间的桥梁作用以及数学与外部之间桥梁作用）和综合价值，综合运用数学知识、技能、思想、方法等解决现实问题，帮助学生积累直接的数学活动经验，发展学生的综合能力。关于“实践与综合”的教育价值和课程目标

教育价值实践与综合领域的存在，沟通了现实世界中的数学与课堂上的数学之间的联系。另一方面，综合应用数学解决问题也必将给学生的学习方式带来改变。使学生发展了意志力、自信心和不断质疑的态度，发展了运用数学进行思考和交流的能力。

课程目标《全日制义务教育数学课程标准》对这个领域的课程设计提出了的总的要求：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。“实践与综合”在不同阶段不同的呈现形式第一学段以“实践活动”为主题，第二学段以“综合应用”为主题，第三学段(即初中阶段)以“课题学习”为主题。

在初中数学中，课题学习的主要形式有三种基本方式：

数学小调查。数学小调查是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查专题，主动获得信息、分析信息并做出决策的学习活动。数学调查可以包括三个阶段，第一，进入问题情境阶段；第二，收集信息的阶段；第三，表达和交流阶段。这种活动具有开放性、问题性和社会性的特点。

小课题研究。活动基本过程如下：各小组确定活动目标；根据目标确定本组活动内容；在老师指导下实际调查。合作交流。

动手做(Handson)的活动。意思是动手活动，目的在于让学生以更科学的方法学习知识，尤其强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养。基本过程是：提出问题动手做实验观察记录解释讨论得出结论表达陈述。具体地说，开

数学研究性学习主要针对我国中学教育中出现的若干弊端，为实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育而提出来的，其根本目的是让学生亲历研究过程，获得对客观世界的体验和正确认识，通过自由、自主的探究过程，综合性地提高整体素质和能力。因此，研究性学习的重点在“学习”，研究是手段、途径，而不是目的。数学研究性学习的内涵

以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的，它主要通过与数学学科内容相关的课题，在教师的指导下，学生为主体地参与、体验问题提出和解决的全过程。使学生不但发展了思维能力，而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法，提高学生的科数学研究性学习的目的

1.让学生经历科学研究的过程，获得亲身参与研究和探索的体验。

2.了解科学研究的方法，提高发现问题和解决问题的能力。

3.学会与人沟通和合作，学会分享。合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质，而研究性学习提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间。

4.增强探究和创新意识，培养科学态度、科学精神和科学道德。在研究性学习的过程中，学生不可避免地会遇到一系列的问题和困难，学生必须学会从实际出发，通过认真踏实地探究，事实求是地得出结论，并且养成尊重他人的想法和成果的正确态度，同时培养不断追求的进取精神、严谨的科学态度、克服困难的意志品质等。

5.培养学生对社会的责任心和使命感形成积极的人生态度。

6.促进学生学习，掌握和运用一种现代学习方式。

7.激活各科学习中的知识储备，尝试相关知识的综合运用。8.促进教师教学观念和教学行为的变化，提升教师的综合素质，培养学生创新精神和实践能力，推进素质教育的全面实施。

初中数学研究性学习主题分为建模探究型、图表探究型、调查探究型、开放探究型四种类型。

（1）建模探究型：以学生动手操作、合作探讨、设计制作模型为主，教师给予指导、总结、评价。

（2）图表探究型：以学生观察、分析数学图表、探究解决问题的方法为主，教师提示结合相关知识分析、探究、解决问题。例如，数学图表的制作：“制作人口图”。

（3）开放探究型：以学生自主分析、小组讨论交流、大胆猜想、探究论证为主，教师给予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味数学问题：猜想、证明、拓广。

（4）调查探究型：以学生调查实践、自主分析、探究实践的方式和方法为主，教师适时引导、提示、总结。数学研究性学习的特点

1.探究性。探究是人类认识世界的一种基本方式，处于基础教育阶段的初中生对外部

世界仍充满强烈的新奇感和探究欲，数学研究性学习正好适应学习者个体发展的需要和认识规律。

2.全员参与性。研究性学习主张全体学生的积极参与，它有别于培养天才儿童的超常教育。全员参与的另一层含义是共同参与。研究性学习的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位。

3.开放性。数学研究性学习是一种开放性、参与性的教学形式，为了研究有关生活中的数学问题或从数学角度对其它学科中出现的问题进行研究。

4.过程性。要求学生把自己所得出的结论运用到现实生活中去，解决现实生活中涉及到的数学问题，强调学生参与的过程。

5.应用性。学以致用是研究性学习的又一基本特征。研究性学习重在知识技能的应用，而不在于掌握知识的量。

6.体验性。研究性学习不仅重视学习过程中的理性认识，如方法的掌握、能力的提高等，还十分重视感性认识，即学习的体验。数学研究性学习的实施保持和进一步提高学习数学的积极性。

（3）在实施过程中，要采取有效的手段对学习活动进行监控；指导学生写好研究数学日记，及时记载研究情况，真实记录个体体验，为以后进行和评价提供依据。

（4）要争取家长和社会有关方面的关心、理解和参与，与学生一起开发对实施研究性学习有价值的校内外教育资源，为学生开展研究性学习提供良好条件。

（5）能够根据学校与班级实施研究性学习的不同目标定位和主客观条件，在不同时段选择不同的切入口，形成不同年级的操作特点。

数学模型一般是指由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象(原型)数量规律和空间特征的数学结构。数学模型可以叙述为：对于现实世界的一个特定对象，为了实施要求：

①全员参与，而非只关注少数数学尖子学生竞争，给每个学生有锻炼与参与的机会；

②任务驱动。要向学生提出有明确具体要求的任务，发挥它对学生学习过程的引导作用；

③重在学习过程而非研究的结果；

④重在知识技能的应用而非掌握知识的数量；

⑤重在亲身参与探索性实践活动，获得感悟和体验，而非一般地接受别人传授的经验；

⑥形式上灵活多样，强调课内外结合。数学研究性学习模式有三种：

（1）理论实践模式。是指师生在共同学习研究性学习理论的基础上，学生运用数学理论来研究、解决数学问题，体验研究性学习课程理论的价值，提高综合能力的一种教学模式。

（2）数学问题探讨模式。师生围绕数学问题的分析与探讨展开的教学活动，构成了问题探讨教学模式。其基本理念在于：以激励、强化学生在教学过程中的主体参与意识为着眼点，以帮助学生学会学习，学会发现和分析问题，培养学生创造性解决问题的能力为宗旨，创设一种开放而又活泼的学习氛围。其教学策略是：将问题或案例呈现给学生，引导学生共同探讨，构建师生平等、互动的学习环境。

一般来说，教师要选择典型的数学问题或案例，不可平铺直叙地搬给学生，而要创造性地加以取舍，主动设疑，引导学生学会思考，提高学生的学习数学能力。

（3）数学课题研究模式。数学课题研究模式是指教师提供课题或由学生根据兴趣设计研究课题，并在教师的指导下自主探索、实施研究计划、完成课题目标、提高社会实践能力的一种教学模式。

组织形式有三种类型：小组合作研究、个人独立研究、全班集体研究。其中一致认为小组合作研究是最基本、最有效、经常被采用的一种组织形式。数学研究性学习实施的一般程序

一般可以分为三个阶段：

（1）进入问题情境阶段（准备阶段）。主要任务是背景知识的准备；指导学生确定数学研究课题；组织课程小组、制定研究方案。

（2）实践体验阶段（实施阶段）。本阶段学生要进入具体的解决问题过程。

（3）表达交流阶段（结题阶段）。学生将自己或小组经过实践、体验所取得的收获进行归纳整理、总结提炼，形成书面或口头报告材料，得出结论，并进行成果交流和总结反思。数学研究性学习实施中的教师指导

（1）在初中不同的学段和年级，教师的指导工作内容和方法应该有所不同。

（2）在数学研究性学习实施过程中，教师要及时了解学生开展活动的情况，有针对性地进行指导、点拨；要组织灵活多样的交流、研讨活动，促进学生自我教育，帮助他们

一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模教学的目

使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；使学生学会以数学建模为手段，激发学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系、相互合作的工作能力；以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实以及基本的思想方法和必要的应用技能。数学建模的教学意义

1.培养学生合作学习的能力合作能力是信息社会中每个人必须具备的基本素质。

2.培养学生处理信息的能力数学建模活动则为学生学习如何选择信息、获取信息和加工信息提供了一个有效的途径。

3.有利于学生形成正确的数学观数学建模活动的开展使学生形成正确的数学观成为可能。

4.有利于学生体验数学与生活、数学与其它学科的联系

5.激发学生的数学学习兴趣

6.发展学生的创新意识数学建模的具体实施1.选题

鼓励学生自主提出问题，可以从以下几个方面人手：

①让学生了解选题的重要性和基本要求，

②指导学生结合自己的生活经验寻找课题，也可由教师介绍往届学生的选题并加以点评，或者请本班同学介绍自己的选题计划，教师和学生一起分析其可行性，

③教师创设一个问题环境，引导学生自主提出问题、确定课题。这时教师的指导应该是有启发性的，不要代替学生确定课题，而是启发学生自己去延展、开拓问题链，让学生自己提出要解决的问题和解决问题的方案。

2.实施

在课题学习的实施中，我们强调开放学生的思维，强化过程体验，师生和生生的情感交流和成果共享。

3.指导

在课题学习中，教师如何指导学生，这是一个令不少教师感到困惑甚至苦恼的问题。课题学习过程中，问题形式与内容的变化，问题解决方法的多样性、新奇性，问题解决过程的不确定性，结果呈现层次的丰富性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战和有效的锻炼。教师在陌生的问题面前感到困难，失去相对于学生的优势是自然的、常常出现的。

4.评价

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评价过程具体涉及以下几个方面：

①调查、求解的过程和结果要合理、清楚、简捷；

②要有自己独到的思考和发现；

③能够恰当地使用工具(如网络和计算工具)；

④采用合理、简捷的算法；

⑤提出有价值的求解设计和有见地的新问题；

⑥发挥每个组员的特长，合作学习得有效果。5.建立和扩张资源

对教育资源的认识应该走出静态的误区，要看到身边许多动态的教育教学资源。此外，通过查找相关的刊物和网站也可以发现大批的可用资源。我们还应有意识地建立自己个性化的信息资源库，它包括：前几届学生做的课题成果，如论文、研究报告、程序、制作的作品，以及活动过程的照片、研究课的录音或录像、其它学校学生的优秀成果等。生和发展而成。这种抽象可以脱离具体的实物模型，形成一种具有层次性的体系。形式化使用特定的数学符号来表示数学概念，使概念形式化。逻辑化在一个特定的数学体系中，孤立的数学概念是不存在的，它们之间往往存在着某种关系；这些关系称之为数学概念的逻辑关系。这种逻辑关系使得数学概念系统化、公理化。简明化数学概念具有高度的抽象性，借助数学符号语言，使得一定事物的本质简明的形式表现出来，这种简明化使人们在较短时间内领会。概念的外延与内涵

概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。

一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延是指适合这个概念的一切对象，即符合这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。概念的内涵是说一个概念所反映的事物培养学生的数学应用意识、数学应用能力

实际教学中要强调学生的自主探索、合作交流和操作实践等学习方式。

（1）充分发挥学生的主体性。在学习过程中，教师可以向学生推荐活动，让学生在选择中有较强的自主性；同时，让学生独立思考和合作交流，在此基础上教师进行有针对性的指导。

（2）强凋学生学习方法、思维方法、学习态度的养成，关注学生的学习过程。课题学习活动强调学生主动学习，不宜强调对知识的学习，而且更重要的是强调学生对学习方法、思维方法、学习态度的养成。

（3）创设恰当的问题情景，鼓励学生思考方法的多样化。在课题学习活动过程中，教师应当鼓励与尊重学生的独立思考，引导学生进行讨论与交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识。鼓励算法多样化，对培养学生的创新意识与创新思维是十分必要的。

（4）对课题学习的评价应该以质的评价为主。一般说来，对学生实践与综合应用活动的评价要强调过程性评价。重点在于促进学生创新精神的培养和实践能力的提高，具备与人沟通及有良好的人际交往能力。而不是把学生贴上优秀、良好、不及格的标签。数学研究性学习的评价对建立学生发展性评价有哪些有益的启示

（1）研究性学习评价更重视过程。研究性学习评价学生研究成果的价值取向重点是学生的参与研究过程。

（2）研究性学习评价更重视理解中的应用。强调的是学生把学到的基础知识、掌握的基本技能，应用到实际问题的提出和解决中去既促进学生对知识价值的反思，又加深对知识内涵理解和掌握，形成知识的网络和结构。3）研究性学习评价强调学生在探究过程中的体验。

（4）研究性学习评价更重视全员参与。研究性学习的价值取向强调每个学生都有充分学习的潜能，为他们进行不同层次的研究性学习提供了可能性，也为个别化的评价方式创造了条件。第五章初中数学的逻辑基础

客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。反映事物本质属性的思维形式叫做概念。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。数学概念具有抽象化、形式化等鲜明的特点。

抽象化数学概念反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。有些可以直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来，而大多数概念排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性，甚至在已有数学概念的基础上，经过多级的抽象过程才产的本质属性。

概念的内涵和外延之间相互依存，二者是一对矛盾，共处于统一体的概念之中。它们之间有着相互依存、相互制约的关系。概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵。概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，二者是相互确定的。初中数学概念的特点

1、初中数学概念并非都是通过定义给出的

2.初中数学概念的层次性数学概念本身具有层次性。

3.数学概念是理想概念

4.数学概念是“过程”与“对象”的统一体数学概念之间的关系

1.同一关系两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系。同一关系，叙述上常用连接词“即”、“就是”等表示。在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替。

2.交叉关系两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系.叙述上常用“有的”、“有些”等表示。

3.从属关系两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系。其中外延范围大的概念A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念B叫做下位概念或类概念。4.矛盾关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系。

5.对立关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系。

把一个属概念分成若干个种概念，揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分。在数学中常用划分把概念系统化。正确的划分应符合下列条件：

第一，所分成的种概念之间应是全异关系，即任两个种概念的外延的交集应是空集；第二，划分应是相称的，即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延；第三，每次划分都应按照同一个标准进行。在一次划分中用不同的根据就造成了混乱；第四，划分不应越级。应把属概念分为最邻近的种概念

数学概念的定义与要求

定义是建立概念的逻辑方法人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。定义的功能是为了明确讨论问题的对象。常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性。常用的定义方法:

1.“种+类差”定义法属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法。2.发生式定义法不直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法。

3.外延定义法这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法。真时，P假；当P假时，P真。

2.选言判断。选言判断是由两个或两个以上判断用连接词“或者”构成的判断，一般记成AVB，读作“A或B”。

3.联言判断。联言判断是用连接词“且”构成的判断，表明几个事物情况都存在，一般记成A∧B，读作“A且B”。4假言判断。假言判断又叫蕴含判断，它是判断P为另一判断Q存在条件的判断，P、Q分别叫做该假言判断的前件和后件(或题设和题断，条件和结论)，一般用“若……，则……”，或“如果……，那么……”的形式表示，记成P→Q。解命题的涵义

关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断。判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题。

4.约定式定义法由于某种特殊的需要，通过约定的方法来定义的。

5．关系定义法这是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。

此外，中学数学中还有描述性定义法(如现行中学数学中关于等式、极限的定义)、递推式定义法(如n阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)，借助另一对象来进行定义(如借助指数概念定义对数概念)等等。定义数学概念的基本要求

1.定义应当相称。即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小2.定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。

3.定义应清楚、简明。定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的。所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出。

定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点。数学概念的形成

数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。

数学概念形成的过程有以下几个阶段：

1.观察实例。

2.分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。

3.抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。

4.确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设。确认本质属性。

5.概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性推广到一切同类事物，概括出概念的定义。

6.符号表示。

7.具体运用。使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。

判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式。判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明。如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断。在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。简单判断又分为性质判断和关系判断。复合判断是由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断。

1.负判断。负判断是用连接词“非”构成的判断，一般记为┑P，读作“非P”，当P如何理解命题的分类

所谓性质命题，是指断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。关系命题关系命题是断定事物与事物之间关系的命题，关系命题由主项、谓项和量项三部分组成.复合命题命题真值的概念。

对于命题A、B，如果A是一个真命题，我们就说A的真值等于1，记成A=1；如果B是一个假命题，我们就说B的真值等于0，记成B=0。一个命题或真或假，而不能既真又假。因此，一个命题的真值只能是1或0，不能既为1，又为0，或非l又非0。

复合命题的分类

复合命题由于所采用的连接词不同，可分为下列五种形式。

否定式。给定一个命题A，用连接词“非”组成一个复合命题“非A”，

析取式。给定两个命题A与B，用连接词“或”组成一个复合命题“A或B”，合取式。给定两个命题A与B，用连接词“且”组成一个复合命题“A且B”蕴含式。给定两个命题A与B，用连接词“若……，则……”组成一个复合命题“若A则B”，记作AB

等值式。给定两个命题A与B，用连接词“等值”组成一个复合命题“A等值B”，记作“AB”公理与定理

不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。原始概念和公理是组成数学理论的主要基础。公理虽然不能加以证明，但有其合理性，它是从大量客观事物与现象中抽象出来的，符合客观规律。

任何公理体系都必须满足相容性、完备性和独立性。相容性是指该体系的各公理之间没有矛盾。完备性是指该分支的形成除了相应的公理体系外，不依赖于任何别的东西。独立性是指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。独立性对整个公理体系而言，具有锦上添花的作用。

经过证明为真实的命题叫做定理，可由定理直接得出的真命题叫做推论。推论和定理的含义没有什么本质的区别。一个定理的逆命题、偏逆命题都未必为真，如果证明了是真实的，则分别称为原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式逻辑的基本规律

1.同一律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确

定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有两点具体要求：一是思维的对象应保持同一。二是表示同一事物的概念应保持同一。

2.矛盾律：在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

3.排中律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。公式是：A∨，即A或。

排中律和矛盾律既有联系，又有区别。其联系在于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假。但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答。3．演绎推理是一种由

⬢ 数学常规培训总结

教学常规是对学校教学工作的基本要求，落实教学常规是学校教学工作得以正常有序开展的根本保证。教学常规检查的内容有：教师的备课、理论学习笔记、听课笔记及作业批改；学生的作业及纠错等常规材料。

一、好的方面

1、 备课方面。

总体上看，老师们备课态度较认，能认真修改教案，能将教材、教参、教案综合起来应用，对教参中的重点难点进行勾画，对教案进行增删，在教材上批注、教学目标、重难点、教学方法等；实用性很强。从这一点可以看出教师在课前是认真的研究课了。

教师写的教学后札记比前一段时间有所提高，少部分教师的课后反思能体现教师对教材处理的新方法，能侧重对自己教法和学生学法的指导，并且还能对自己不得法的教学手段、方式、方法进行解剖。有的老师的反思极详细、深入、能根据实际情况有感而发。

2、理论学习笔记方面。多数老师能认真写好读书笔记，记得详细，字数也远远超过了要求的量，并能写出自己的读书心得，不仅篇幅足，而且字迹工整。说明这样的教师不是为了完成任务而读书，值得我们学习。

3、听课方面。多数教师能主动听课、评课，听课节数达到了要求，并把精彩的瞬间记录下来，总评恰如其分，既有优点不足又有建议，做到了教学相长。

4、批改作业方面。本次检查发现大部分教师作业设置适量、适度，均能及时批改作业。采用双等级加激励性语言的评价。学生作业中的错题能及时更改。多数学生书写比较认真，格式比较规范。教师批改记录比较细致，能够反映学生作业中的错误做法及纠正措施。

二 、存在的问题

1、备课方面。个别教师反思过简，部分教师没有按课时写反思。有的没有二次备课。环节仍不齐全，尤其是备注栏内没有进行必要的说明。

2、作业批改方面。少部分教师作业批改后学生的错题没有及时订正，有的没有及时批改。学生的书写还没有引起教师足够的重视。批改作业不要用一个大钩，应该给每一道小题目都要打上一个钩。这样能体现老师的精批细改。并且批阅后最好写上时间，最后所写批语要规范、清楚、给学生以榜样示范。加强书写训练，书写工整、大小匀称、疏密有致；作业要整洁，不能在作业本上乱涂乱画。课堂作业本中，学生有错误，应该指导学生来订正，不应是教师的修改代替学生的订正。部分教师评语过简针对性不强，对指导学生帮助不大。

3、理论学习方面。部分教师不能按时学习记录，有的记录过简、反思不深入。

5、听课方面。个别教师简评、总评填写过简，有的没有听课时间。部分教师听课次数不足，不能主动学习、观摩同学科教师讲课。这些都有待改进。

⬢ 数学常规培训总结

“书山无路勤为径，学海无涯苦作舟。”学习是无止境的，活到老，学到老。教师要不断更新充实自己的学识。博学多才对每一位教师来说当然很重要。因为我们是直接面对学生的教育者，学生什么问题都会提出来，而且往往“打破沙锅问到底”。没有广博的知识，就不能很好地解学生之“惑”，传为人之“道”。所以我在这学期里，能认真参加学校开展的各项活动，如每周三的集体教研活动，每周四晚上的计算机培训等。特别在继续教育的学习上，积极争取学习的机会。每次听课或参加培训学习，都争取坐个看得清楚的好座位，以便能更好地作记录。本学期共听课22节，在年段上公开课1节，在学校上讲座一个。

本学期写教后记、教学反思多篇以及学习摘抄有《后进生学情研究及其转化》、《谈数学复习课的提高》、《梯形面积的计算》教学后记、“师道尊严新说”读后感、对出老师“绿化校园”一课的评课、学习“师德师风”、“公正合理地对学生进行教育”、“学生主动学习的探索”、“如何转化后进生”的文章内容摘抄等。此外，我还利用业余时间认真学习电脑知识，学习制作多媒体课件，为教学服务。我还在课余的时间里，经常到有关教育的网站查找学习的资料，浏览教育同行的优秀教案、课件、论文、教学札记和参与教学论坛的讨论。努力学习别人先进的教学经验，改变旧的教学观念，把新的教学理念运用在自己教育教学之上。

⬢ 数学常规培训总结

根据学校工作安排，教务处于11月27日对全校教师的教学常规材料即备课、听课、学生作业等方面，采取抽查方式进行了全面、彻底地检查，现将对六年级数学组检查情况总结如下：

一、教师备课本次检查再次彰显了我校教师的教学能力和备课水平，教师的教学潜能巨大，归纳起来有以下几个亮点：

1、教师备课认真、时间和情感投入较多，遵循学生的认知规律，反映了我校教师对教育教学工作的热爱。

2、二次备课落到实处，既汲取了众人的长处又融入了个人的智慧和情感，具有很强的针对性和实效性。

3、备课既有知识的梳理、归纳和总结，又有教学方法的探索和学习方法的指导，教学方案设计的科学实用。

4、“先学后教、当堂训练”的'“教学模式贯穿备课全过程，教学效果明显。

5、教师备课注重学生学习兴趣的培养和良好生活习惯的养成教育，三维目标落到实处，师生关系融洽，课堂氛围和谐、富有活力。

6、教学反思深刻、自然、真实，极具概括性和典型性，很好地反映了老师们严谨的治学态度和科研精神，教师的教学反思丰富详实，具有很强的指导性和借鉴价值。

二、听课记录通过检查，发现我校教师的听课情况有以下几点值得肯定和推广：

1、听课节数较多，反映了我校年青教师追求进步、积极向上的良好心态。

2、听课范围广、层次跨度大，博采众家之长，必将促进教师的快速成长。

3、听课随感丰富详实，真正做到了用耳听、用眼看、用心想、用脑思，听课效果明显。

4、评课意见中肯到位，既有优点的肯定，又有不足的指出，真正实现了上课者和听课者”双赢“的良好局面。

建议：听课随感尽量少用千篇一律的套话、虚话。听课笔记填写要完整，如：听课时间、地点等，不要遗漏。

三、学生作业本次作业检查主要从作业布置的量、作业的质、作业上交和批改的及时性、批阅的认真程度及纠错效果等几方面入手对全体学生的作业进行了全面的查阅。

主要优点：

1、作业布置规范、适度，有很强的针对性。作业布置形式多样，学生较感兴趣，巩固效果好。

2、作业批改充满了对学生的关注、关心和关爱。教师通过饱含激励和希望的作业批语和学生进行沟通和交流，让学生感受到教师的关爱，增强了学生学习和生活的信心和勇气。

3、能紧扣课标、联系教材，关注作业数量，注重作业质量，纠错及时，巩固到位。

建议：作业批改日期可以有。

总的来说，六年级数学组是一个团结奋进的集体，有很强的凝聚力，经得起检查，各个方面都完成很好，希望在后阶段继续扎实开展好教学常规工作，期末再创佳绩。

⬢ 数学常规培训总结

一、检查概况：

20xx年11月30日我组在教导处督促下对全组教师进行了第三次教学常规工作检查。此次我们数学组共有12名教师接受检查。总体来说，绝大多数教师的工作成效是令人欣喜的，值得肯定，但同时也存在一些问题，有待进一步整改。

二、主要成绩：

（一）、教案编写情况：

⑴实效大。大多数教师编写教案能根据学情，课型，紧靠《课标》，重点突出，体现特点，落实目标，渗透理念，教学环节清晰合理，富有针对性和实用性。

⑵“余粮”足。大部分的教师能精心准备，认真撰写，数量足够，大多数教师有一周的“库存粮”。

⑶形式活。教案呈现方式多，有自己撰写，有集体备课，个人增减，有在文中批注等，但更多的是自撰的。

⑷有反思。部分教师都能及时地在教案后面写上自己的教学感受，体验，思考，顿悟，内容丰富，形式灵活。

（二）、作业布置与批改：

⑴作业布置有广度：大多数教师能践行中心校就作业布置的具体要求，做到“堂堂有作业，课课有练习”。有一部分教师还从时间，类型，要求等不同层面上做“细活”。

⑵设置作业有维度：多数教师能根据学情与教材特点，从夯实基础，落实目标，提高能力，发展潜力等多重目的出发，自设了形式多样，富有成效的综合作业。

⑶批改作业有效度：教师们都能及时，认真，细致，准确地批改作业，做到：符号规范，反馈及时，重视矫正。充分发挥评价的激励作用。

三、存在问题：

1、个别教师教案编写简单空洞，缺乏实用性。；

2、少数教师的作业布置分量偏少，缺少精心设计，未能有效地达到巩固和提高的目的；

3、一部分学生的作业习惯差和作业矫正效果差仍是“顽疾”；

四、整改意见：

1、重视教学常规工作的过程性管理，提高学校工作的整体效益；

2、培养学生良好的作业习惯，提高矫正的有效值；

3、开展“如何对待错题”专题研讨，实现师生“双赢”。

⬢ 数学常规培训总结

本次培训，利用网络观看了各位专家们的讲座，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法，使受益匪浅，对我的教育教学实际帮助很大。现将培训总结如下：

一、专家讲座。

思想理念的提升我这次参加了天津市中学教师五周期信息能力提升培训以及第三阶段的全员培训。通过各阶段必修课和选修课专家的视频讲座。从当前教育教学改革方向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位专家从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对初中数学教育的独特见解。让我更清晰地意识到作为一名初中数学教师该如何看待自己的角色，该如何去提升自己的专业水平，该如何去驾驭自己的课堂教学。

关爱每一名学生。在教育中，教师要用自己的行动去感染学生，要用自己的言语去打动学生，教师要根据教育教学规律和学生身心发展水平和特点，充分尊重学生的主体地位，用自己的德和才来影响教育学生，把传授知识同思想启迪、陶冶情操、心灵塑造结合起来，培养学生广泛的兴趣，调动学生学习的积极性，促进学生整体素质协调发展，这才是师德的重点。

实用的课件运用到自己的教学中，发现学生比以前感兴趣多了，自然收到了较好的教学效果。

二、同行交流，取长补短！

班级同学进行交流研讨，大家共同参与，把自己的学习体会经常同教师们交流，运用所学经验积极向老师们征求意见，取长补短。这个方法可以促进广大教师共同提高。通过查看辅导教师推荐的优秀作业，来不断地提高自己，完善自己，提升自己的教学水平。

2、学习日志，学习的心得的总结这次培训要求每个学员提交学习日志，写学习日志，心得体会，提出困惑。

也为我们学习和交流提供了一平台。发表学习日志，学员之间相互交流学习的体会和心得，认识到继续教育的重要性和必要性，将继续教育划定为自身的终身教育，提升自己的理念高度，提高自己的专业水平。

三、提交案例。

作业，汇集才思培训期间，按时教学案例，教学设计，将自己在继续教育中学到的只是方法应用到理论的数学教学当中，设计教学案例，让专家记忆评价，检测自己参加继续教育学习的效果。提交专家设计的作业，将自己的看法于专家进行交流，拓展自己的教学思路，掌握更多更好的数学教学方法。我在第二阶段的实践作业还被老师评为优秀。总之，这次网上培训让我开了眼界，学到了许多好的教学思路和方法，对于我今后的数学教学帮助很大，通过本学期继续教育培训的学习，如春风化雨般润物于无声，使我在教育思想，教育理论及业务能力等方面受益颇多。我深切地认识到为了更好的胜任新时代的教育教学工作，必须不断的全面提高自身素质，不断地学习充电，以适应素质教育的需要，适应新时期教育发展的需要。

⬢ 数学常规培训总结

345优质高效课堂，“345”的含义是指三个步骤、四个环节、五种基本课型，三个步骤是课前延伸—课内探究—课后提升，四个环节是自主学习、合作探究、精讲点拨、巩固检测，五种课型，各学科有所不同。这次上寿光暑期培训，听取了来自不同县市区的名师所执教的五节精彩的小学数学课，就是数学科目的五种典型课型。

小学数学内容大致有这些：数的认识、数的运算、量与计算、比和比例、式与方程、几何图形、统计与可能性等，根据内容的不同可以选用不同的课型。

第一节课是来自寿光世纪学校王琳琳老师执教的二年级数学内容《乘法的认识》，数学内容中的所有概念、定律、性质、法则、公式等都属于数学概念，这节课属于概念教学。先看《乘法的认识》这节课的教学过程（根据课件简述教学设计），突出优点首先是创设情景、提出问题，让学生列式解答，观察算式特点，那复杂算式呢，思考解决办法，其次是概括总结出乘法的概念后，及时进行应用辨析，这也是我们老师在讲概念课时值得借鉴的地方。概念教学的流程按教学侧重点不同大致分为四个阶段：第一个阶段（变魔术、提问题）创设情境，提出问题，促思定向——第二阶段（列算式、找特点）自主探索，合作交流，感知概念——第三阶段（求简单、学乘法）精讲点拨，内化提升，形成概念——第四阶段（巧练习、促巩固）练习巩固，反思评价，矫正补缺。

第二节课是来自高密市第二实验小学侯淑娴老师执教的一节三年级数学课《统计与可能性》，这节课《统计与可能性》是青岛版《义务教育课程标准实验教科书·数学（三年级上册）》第82-83页所学的内容。先看《统计与可能性》这节课的教学过程（根据课件简述教学设计），突出优点是以小组的形式自主学习、合作探究，而且老师及时评价，练习题多容量大。此课型的教学过程有四个环节：一游戏引入，激发兴趣；二精心设问，引出新知；三操作验证，探究新知；四梯度练习，巩固新知。统计与可能性这部分内容在授课时关键是练习题的设计上要灵活多变而且切合实际生活。例如：要设计一个转盘，红绿两种颜色，指针指向红色奖书包，指针转到绿色奖铅笔。如果你是一个商店老板会怎样设计这个转盘，如果你是一个聪明的顾客又会怎样设计这个转盘呢？

第三节课是来自奎文区潍坊日向友好学校王冬梅老师执教的一节六年级数学课，我们期末考试大多用的是奎文区的试卷，题目非常新颖灵活，听了这节课我深深感觉到我们与他们的教科研上有很大差距。先看《平面图形的复习》这节课的教学过程（根据课件简述教学设计），突出优点是：

一是王老师通过让学生解决——“中队旗用多少布料。”这一问题，与开课所提及的`问题前后呼应，又有利于拓展学生多角度思考和联系实际解决问题的能力，同时注重了解决问题方法的多样性，培养了学生的数学应用意识。

二是最后通过——“想象大冲浪”这一轻松而富有智慧的练习既巩固了面积计算公式同时又培养了学生合理想象的能力，可谓一举两得。三是王老师在课的最后以“精神快餐”和“学习诀窍”的形式对课进行总结，富有哲理，耐人寻味，发人深思，给人启迪，从而潜移默化地使学生的思维得到升华，为学生后续学习起到了很好的启发和引领作用。

通过这节课我们一块研讨一下复习课。复习课的主要任务是：帮助学生梳理知识，形成网络，使知识系统化、结构化，以加深对知识的理解及知识之间内在联系的把握，并在梳理的同时查漏补缺，弥补平时学习的薄弱环节。通过综合应用，帮助学生进一步巩固和熟练掌握基本知识，基本技能以及基本的数学思想和方法，帮助学生揭示解题规律，总结解题方法，进一步提高学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。并在对数学知识的综合应用中，进一步提高观察能力，记忆能力，抽象概括能力，逻辑推理能力，化归转化能力，空间想象能力、数学化的能力、运算能力和探索创新能力。本节复习课教学的基本流程是：创设情境，激趣导入、激发学习动机——自主探究，构建网络，呈现原有认知——合作交流，方法指引，构建升华认知——综合运用，解决实际问题，思维拓展。

第四节课是来自诸城市新艺学校郭德燕老师执教的一节四年级数学课《解决问题》，其教学内容是青岛版四年级上册第三单元。教学目标是：

1、完成三步解决问题的学习任务；

2、使学生进一步学会分析问题解决问题的方法；

3、在解决问题的同时完成四则混和运算的学习任务。

先看《解决问题》这节课的教学过程（根据课件简述教学设计），突出优点是：一是这节课以“爱我中华”“爱我山东” “爱我家乡”为主线，情感教育浓厚，二是注重培养学生分析问题和解决问题的思路和方法，我们上课经常提问学生这道题怎样做呢，而郭德艳老师是多遍让学生分析这道题，这样才能让学生从根本上学会解决应用题。

⬢ 数学常规培训总结

备好课是上好课的前提。

1、认真执行新课标，明确课程性质、目标和实施建议，从课程的三个维度制定学科教学计划，多数级科实行集体备课，重视安排好综合实践活动、学科评价方案，并落实到每节课中。

2、通过对教材内容的认识、实践、批判和反思，把课程内容（教材内容）按照学生实际需求加以组织、整合，实现对教材内容的再创造。

3、深入了解学生，掌握学生实际，面向全体，因材施教。注意在备课中突出教学重难点及突破的方法，注意问题设计的开放性、启发性，重视学生创新思维能力的培养，进行二次备课。

4、教案实施之后，进行课后反思，以随笔或后记的形式批注在教案的后边。并坚持写教学反思，老师们进行交流，讨论。

⬢ 数学常规培训总结

近年来，随着全球对科技人才的需求不断增长，越来越多的家长开始关注孩子在数学领域的学习和发展。而思维数学培训则应运而生，成为了提高孩子数学思维能力的一种有效途径。本文将详细介绍思维数学培训的概念、目标和方法，并通过案例分析彰显其积极的教育成果。

首先，让我们来了解什么是思维数学培训。思维数学培训是一种特殊的课程，旨在培养孩子们的逻辑思维能力、创造力和解决问题的能力。这与传统的数学教学方法不同，思维数学培训强调培养学生的批判性思维和创新能力，通过多种启发性、趣味性的教学方法激发学生的学习兴趣，并帮助他们建立解决问题的框架和策略。

思维数学培训的目标是培养孩子们的数学思维能力。数学思维是一种综合能力，包括逻辑思维、抽象思维、批判性思维和创新思维等方面。通过思维数学培训，孩子们可以学会运用逻辑思维分析和解决数学问题，培养数学抽象能力，形成系统性的思维模式，并提高他们的解决问题的能力和创新能力。

那么，在思维数学培训中，我们应如何教学呢？首先，培训课程需要设计丰富多样的教学方法，如游戏、小组讨论、角色扮演等，以吸引孩子们的注意力。这样的教学方法不仅能够让孩子们在轻松愉快的氛围中学习，还能够增加他们对数学的兴趣和投入度。

其次，思维数学培训需要注重培养学生的问题解决能力。通过给学生提供与他们年龄水平相适应的数学问题，鼓励他们主动思考、独立解决问题。同时，教师需要及时给予学生反馈和指导，引导他们形成正确的思维方式和解决问题的策略。

此外，思维数学培训还应注重培养学生的批判性思维能力和创新能力。教师可以通过提出挑战性的问题和开展相关的创意活动来激发学生的思考和创新意识。同时，教师需要引导学生学会评估和分析数学方法的有效性，并鼓励他们提出自己的想法和解决方案。

通过以上的培训方法，思维数学培训在培养学生的数学思维能力方面取得了积极的教育成果。以下是一个案例分析：

在某思维数学培训班中，教师通过一个名为“九宫格”的数学游戏帮助学生培养逻辑思维能力。这个游戏的规则是，学生需要填充一个3x3的方格，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。最初，学生们面对这个游戏感到困惑，不知道如何下手。然而，经过教师的引导和思考，学生们逐渐掌握了解决问题的方法。他们开始寻找规律，比较不同方案的优劣，并进行了多次尝试和调整。最终，学生们通过大量的实践和思考，成功填充了九宫格，体验到了解决问题的喜悦和成就感。

综上所述，思维数学培训是一种有效提高学生数学思维能力的教育方法。通过丰富多样的教学方法，注重培养学生的问题解决能力、批判性思维和创新能力，思维数学培训可以激发学生的学习兴趣，培养他们的数学思维能力，并取得积极的教育成果。相信通过思维数学培训，孩子们的数学能力将得到有效提升，为未来的科学研究和创新做出贡献。

⬢ 数学常规培训总结

免疫系统作为人体的防御机制之一，对于保持健康至关重要。为了加强对免疫系统的了解以及提高免疫力，我参加了一次常规免疫培训。

培训一开始，讲师简要介绍了免疫系统的基本原理以及其在维持人体健康中的作用。免疫系统由一系列器官、细胞和分子组成，能够识别并抵御外界入侵的病原体。通过了解免疫系统的功能、如何识别和攻击病原体，我对自身的免疫系统有了更深入的认识。

学习了如何通过生活方式和饮食来增强免疫力。良好的生活习惯是维持免疫系统健康的重要因素之一。睡眠充足、定期运动、减少压力等都能有效提高免疫能力。合理的饮食也对免疫系统起着重要的作用。应该摄入富含维生素和矿物质的食物，如新鲜水果、蔬菜、全谷物和健康脂肪。通过合理的饮食和生活方式，能够改善免疫系统的功能，保持身体健康。

培训中还介绍了常见病原体和免疫疾病。了解常见的病原体对于免疫系统的学习非常重要。学习了各种病原体的特点、传播途径以及防控措施。通过了解病原体的信息，能够更好地避免感染，并且在免疫系统受到攻击时，及时采取措施保护自身健康。免疫疾病是免疫系统功能紊乱时出现的疾病，了解常见的免疫疾病，可以提前预防和治疗，减少免疫疾病带来的不良影响。

在培训的进行了一些实践和互动活动，增强了对所学知识的理解和应用能力。通过模拟病例分析，学习了免疫系统在某些疾病中的作用，以及如何根据免疫系统的功能特点来进行治疗。这些实践活动非常有趣，帮助我更好地将理论知识应用到实际中。

通过这次常规免疫培训，我对免疫系统有了更深入的了解，同时也学到了一些加强免疫力的方法。我意识到养成健康的生活习惯和合理的饮食对于保持免疫系统的功能至关重要。我也更清楚了如何通过了解常见的病原体和免疫疾病来提前预防和治疗。这次培训不仅加强了我的知识，还让我更有信心和能力保护自己的健康。

常规免疫培训让我对免疫系统的重要性有了更深刻的认识，提供了许多实用的方法来增强免疫力。在今后的生活中，我将遵循所学原则，坚持健康的生活方式，保护自己的健康。同时，我也希望通过教育他人，让更多人意识到免疫系统的重要性，并共同努力保持健康的免疫系统。

⬢ 数学常规培训总结

xx月xx日到xx月xx日我们参加了小学数学90学时培训班实践活动，培训历时4天，这次培训很规范。开设的课程内容丰富多彩，有指导师示范课，学员汇报课，现场互动交流等形式。在这次培训中，我不仅学到许多好的教学方法，而且进一步增加了对小学数学课程标准的理解，解决了一些在日常教学中常见的疑难困惑，受到了很大的启发。

一、让我知道了如何上好复习课

复习课的目的任务主要是巩固与加深学过的数学知识，使学过的知识系统化；复习课要关注回忆梳理知识，沟通单元的知识点重点，建立知识网络；复习课要突出核心概念，单元目标、重难点、易错易混的习题、心里都要把握好；复习课要突出思维训练，要有具体的思考方法，要有步骤，练习设计不要求面面俱到，要合理选择练习设计，不要重复练习，要讲究练习梯度。

二、让我感受到了集体的力量

教材研读、如何磨课、课的展示、听课评课……大到整堂课的布局构思，小到课堂上老师讲的每一句话，在不断的交流与讨论中，集体智慧凝聚成一个个课堂的亮点。老师们进行课堂展示，既为教学实践研究提供了鲜活的课例，又充分展示了学员们的教学风采。在这次培训活动中，我体会到了团结力量大这个千古真理，也使我能够取长补短，见识到了很多老教师的风采和导师们的精彩点评。通过交流我了解到自身确实还有很多不足的地方，通过向他们学习、请教，对我自己是一种很好的成长方式。

三、给我带来了全新的小学数学教育理念

在这次学习中郑老师、徐老师还为我们总结了数学的思想方法和教学策略，让我在数学方法上有了更深刻的认识。我正是缺少了这样的一些理论基础和教学思想，使得在实际教学中缺乏高度和深度。老师的一些论述非常贴近我们的实际教学，这也是我们在日常教学中非常需要的。要想做一个成功的老师，不仅自身要具备较高的随机应变的能力，更要汲取丰富的理念，这样才能真正具备驾驭课堂的能力。

在这几天里，我欣喜自己又获得了一笔宝贵的财富。一节好的数学课，新在于理念，巧在于设计，赢在于实践。

我在收获甜甜果实的同时，心里也有酸酸的感觉，他们厚实的文化底蕴，执着的教育追求，严谨的治学态度，让我感到惭愧。回顾自己的教学，才发现自己实践的不少，但思考不多。我把这次培训活动作为宝贵的精神财富，将所得的收获和思考带回课堂，一如既往地学习各种教育理论，并勇于到课堂上去实践，在自己的三尺讲台上展现成果，及时对自己的教育教学进行反思积累，为教学谱写新的篇章。

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